一、等差数列的初识
等差数列是数学中一种重要的数列形式，它具有独特的规律和性质，从简单的例子入手，如 1，3，5，7，9 这样的数列，相邻两项的差值恒定为 2，等差数列在各个领域都有广泛的应用，它是数学基础的重要组成部分。
在推导等差数列求和公式之前，我们先来回顾一下等差数列的基本定义，一个等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，这个常数称为公差，通常用 d 表示。
等差数列求和公式推导：
设等差数列的首项为 a₁，公差为 d，项数为 n，我们可以将这个等差数列表示为 a₁，a₁ + d，a₁ + 2d，...，a₁ + (n - 1)d。
那么这个等差数列的和 Sₙ可以表示为：
Sₙ = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) +... + (a₁ + (n - 1)d)
将上式倒序写一遍得到：
Sₙ = (a₁ + (n - 1)d) + (a₁ + (n - 2)d) +... + a₁
将这两个式子相加得到：
2Sₙ = [2a₁ + (n - 1)d] + [2a₁ + (n - 1)d] +... + [2a₁ + (n - 1)d]（共 n 个）
2Sₙ = n[2a₁ + (n - 1)d]
Sₙ = n(a₁ + (n - 1)d) / 2，这就是等差数列的求和公式。
二、等差数列求和公式的应用
等差数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，计算一堆等间隔堆放的物体的总数，或者计算一段等时间间隔内的总工作量等。
考虑一个实际例子，一个工厂每天生产的产品数量构成一个等差数列，首项为 50，公差为 10，共生产 30 天，我们可以利用求和公式快速计算出这 30 天的总产量。
等差数列求和公式推导：
在此例中，a₁ = 50，d = 10，n = 30，代入求和公式 Sₙ = n(a₁ + (n - 1)d) / 2 可得：
S₃
